Parmi 40 personnes, la probabilité pour que deux d'entre-elles soient nées le même jour dans l'année n'est pas si petite qu'on pourrait le penser : de l'ordre de 0.9. Le «paradoxe» venant du fait que si on fixe deux personnes, disons Alice et Bob, la probabilité pour qu'ils aient le même jour anniversaire (ou encore : 364 non-anniversaires communs les années non bissextiles) est bien 1/365. Ce qui se passe, c'est qu'il y a beaucoup de couples Alice/Bob : bien plus que 40...

Plus généralement, la probabilité qu'une application de {1...p} dans {1...n} prise au hasard soit non injective «devient non négligeable» (pour être très précis !) quand p est de l'ordre de sqrt(n).

Dans la chasse au trésor d'un épisode précédent, il est question de trouver un couple (x,y) avec trois décimales après la virgule. J'estimais (à tort, mais ce n'est qu'accessoire) que ces données étaient majoritairement entre 1/2 et 3/2, soit 10**6 résultats à envisager.

Avec environ 400 trésors, une répartition aléatoire aurait du donner assez peu de collisions, voire aucune. Comme il y en avait un certain nombre (une vingtaine, dont une «double», avec un trésor partagé par trois numéros), j'ai représenté la carte aux trésors avec ce petit script. Le résultat est très clair : les points sont tout sauf équirépartis ! carte.jpg

J'ai ajouté quelques trajectoires du système proies/prédateurs issues de (2,1), pour 9<t<10, ce qui explique assez bien a posteriori l'allure de la répartition...

Bon, ça me donne des idées de DM (ou TP...ou plus si affinités) autour du paradoxe des anniversaires.